怠惰の累積和

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AtCoder Beginner Contest 144 D - Water Bottle

問題概要

　底面が $a(cm)$ の正方形で高さが $b(cm)$ の直方体の容器があり、 $x(cm^3)$ の水が入っている。底面の一辺を固定したまま徐々に容器を傾けていく時、何度傾けた時までなら水が零れないか。

解法

　求める角度を $θ$ とする。

　 $θ$ だけ傾けた時、容器に入っている水の構成する形は三角柱か底面が台形の四角柱になることが分かる。以下この2パターンについてそれぞれ見て行く。

　ⅰ)三角柱

　 $θ$ だけ傾けた時、容器及び水は下図のような状態にある。

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　 $θ$ は水面が地面と平行であるから、錯角の関係にある上図の赤色の角度も $θ$ となる。三角柱の底面(図の斜線部)は現状長さ $b$ の辺が存在することしかわかっていない。だが、上図の $x$ の長さが判明すると、逆正接(arctan)を応用することにより、 $θ$ が求まる。C++だとatan2という関数に $x,b$ の長さを与えることで求めることができる。

cpprefjp.github.io

　よって、 $x$ の長さを求めることができれば勝ちだが、これは中学受験並みの知識で求めることができる。水は $x(cm^3)$ 入っていて、三角柱としての高さは $a(cm)$ であるから、底面積を求めることが容易である( $\frac{x}{a}$ で求まる)。

　底辺 $α$ 、高さ $β$ の三角形の面積は $\frac{1}{2}αβ$ で求まるから、これを適切に使用して逆算すると $x$ の長さが求まる。

　ここで、もし $x$ > $a$ であるならば底面は三角形になりえないので、底面は台形、水の形は四角柱だと分かる。そうでないなら先ほどのatan2に $x$ と $b$ を与え、 $θ$ を得る。ラジアン表示で返ってくるので適切に度数法に変換してやる必要がある(rad*180/pi=deg)。

　ⅱ)四角柱

　 $θ$ だけ傾けた時、容器及び水は下図のような状態にある。

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　三角柱の時と同様にやると、赤色の部分が $θ$ だと分かるから、atan2に $a$ と $b-x$ の長さを与えて適切に度数法に変換すれば答えとなる(台形から2辺の長さが $a$ と $x$ の長方形を取り去った三角形を考える)。

　底面の台形の面積は先ほどと同様に $\frac{x}{a}$ で求まり、上底 $α$ 、下底 $β$ 、高さ $γ$ の台形の面積は $\frac{α+β}{2}γ$ で求まるから、適切に処理することによって、 $x$ が求まる。

　よって、atan2に $a$ と $b-x$ を与えて $θ$ をラジアン表示で得る。度数法に変換して答え。

　上記を実装して、AC。